Теплопроводность в твердых телах

1. Закон Фурье

Теплопроводность характеризует способность тела передавать тепловую энергию от одной его точки к другой, если между ними возникает разница температур. Явление теплопроводности в одномерном стационарном случае описывается уравнением (законом) Фурье:

dQ = - l(dT / dn)dsdt, количество теплоты dQ, переносимое за время dt через площадку ds в направлении нормали к этой площадке в сторону убывания температуры, пропорционально градиенту температуры  δT(теплота течет в направлении, противоположном градиенту температуры, т.е. от горячей области к холодной). Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом теплопроводности и характеризует способность тела проводить тепло. Иначе закон Фурье можно записать так:

q = -λ δT , вектор плотности теплового потока через единичное сечение пропорционален градиенту температуры вдоль нормали к этому сечению.

2. Теплопроводность анизотропных тел

Для анизотропных твердых тел плотность потока в общем случае не совпадает с направлением нормали к изотермической поверхности, и уравнения Фурье могут быть записаны в следующем виде: qi = - lij(∂T / ∂xj), где коэффициенты lij образуют симметричный тензор 2-го ранга.

Анизотропные кристаллы обычно характеризуют теплопроводностями в направлении главных осей. Если тензор lij привести к главным осям (x, y, z), то уравнение принимает простой вид: q1 = - l1(∂T / ∂x); q2 = - l2(∂T / ∂x); q3 = - l3(∂T / ∂x).

3. Температуропроводность

Нестационарный перенос тепла теплопроводностью описывается дифференциальным законом Фурье:

Cd(T / t ) = δ (λ δ T) + qv, где где C - удельная теплоемкость; d - плотность; qv - объемная плотность потока тепла от внутренних источников; t  - время. При независящих от температуры свойствах C, d и l выражение может быть переписано так:

(T / t ) = a δ2T + (qv / Cd), где a = λ / Cd - коэффициент температуропроводности, характеризующий скорость распространения тепла в веществе.

4. Механизмы теплопроводности

В общем случае в твердых телах имеют место два основных механизма теплопроводности: свободными электронами (электронная теплопроводность λe) и атомными колебаниями (фононная или решеточная теплопроводность λp). Фононная теплопроводность характерна для диэлектриков, а электронная преобладает в металлах. Явления переноса теплоты в полупроводниках сложнее, чем в диэлектриках и металлах. Здесь существенны оба названных вклада в механизм теплопроводности, а также существенным образом сказывается влияние примеси, процессов переноса экситонов и других факторов.

Экситон - мигрирующее в кристалле квантовое электронное возбуждение, не связанное с переносом электрического заряда и массы.

4.1. Тепловое сопротивление

Атомы в твердом теле связаны между собой, и теплота передается через их колебания. Поэтому при нагревании какого-либо участка тела амплитуда колебаний атомов этого участка увеличивается и кинетическая энергия колебаний переносится к более холодному участку.

Колебания атомов в кристалле не являются чисто гармоническими, и силы взаимодействия нелинейно зависят от смещения атомов.

При рассмотрении явления электропроводности было введено два понятия: удельной электропроводности g и удельного электросопротивления r = 1 / g . Аналогично и для явления теплопроводности, кроме величины теплопроводности λl , можно ввести понятие теплового сопротивления W = 1 /λ.

Если в газах теплота переносится движением молекул, то в кристаллах - движением фононов. В результате решеточное теплосопротивление обусловлено рассеянием фононов на дефектах кристаллической решетки (в частности, примесях), электронах и других фононах.

4.2. Теплопроводность диэлектриков

Температура Дебая ΘD - величина, представляющая собой максимальный квант энергии, способный возбудить колебания решетки. Температура Дебая зависит от свойств вещества. Для большинства твердых тел она составляет 100¸ 400 К, но для бериллия (ΘD = 1440 K) и алмаза (ΘD = 2230 K) она аномально высока из-за повышенной жесткости межатомных связей.

4.3.1. Теплопроводность некоторых диэлектриков при 20 ° С

Влажность существенно увеличивает теплопроводность гигроскопичных веществ.

4.4. Теплопроводность в металлах

Решеточная теплопроводность в металлах может быть оценена из выражения: λp = 2,41rCv(Ed)1/2, где r - расстояние между атомами; Cv - удельная изохорная теплоемкость; E - модуль Юнга; d - плотность.

Электронное теплосопротивление обусловлено рассеянием электронов на дефектах, примесях, фононах и электронах. Согласно правилу Видемана-Франца при комнатной температуре отношение теплопроводности и электропроводности для различных металлов является константой: λe = Lg T, где постоянная Лоренца L = (p 2 / 3)(kB / e)2 = 2,45 × 10-8 Вт × Ом / К2.

4.4.1. Зависимость электронной теплопроводности металлов от температуры

  • При температурах вблизи T = 0 K l e ~ T.
  • В интервале средненизких температур 0 < T << Q D  λe ~ 1 / T2.
  • При высоких температурах T >> Q D λe ~ const.
  • Оценки показывают, что λp » 0.01Чλe.

4.4.2. Теплопроводность металлов и сплавов, Вт/(мЧК), при 20 °С

LiNaKBeMgAlTaMoWFe
701401001601722095513716974
Co
Ni
Ir
Pd
Pt
Cu
Ag
Au
ZnCd
706260707039341531211398
HgTlSnPbSbBiЛатуньСтальЧугун
295166351910864563

4.4.3. Влияние различных параметров на теплопроводность в металлах

Теплопроводность зависит от размера зерна и увеличивается с его ростом. С учетом правила Видемана-Франца между электро- и теплопроводностью для металлов, где преобладает электронная составляющая l e, последняя при изменении химического и фазового состава и структуры сплава будет изменяться по тем же закономерностям, что и электропроводность.

В непрерывном ряду твердых растворов теплопроводность понижается тем больше, чем дальше состав сплава отстоит от чистых компонентов. Обратное явление, как и в случае электропроводности, наблюдается, например, для медно-никелевых сплавов.

Остались вопросы?

Заполните форму и мы ответим на все вопросы: